Bàn về dấu hiệu chia hết cho 11 trong đề thi APMOPS 2008


Question:

Given that 20082008...2008623 (n \emph{ of } 2008).

Find the smallest value of n such that the number is divisible by 11.

Nhận xét:

Trước tiên ta phải nói về dấu hiệu chia hết cho 11: một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu của tổng các chữ số ở vị trí chẵn và tổng các chữ số ở vị trí lẻ là một số chia hết cho 11. Từ đó bài toán trở nên dễ dàng.

Solution:

The sum of even digits is equal to 2+n(8+0)=8n+2.

The sum of odd digits is equal to 3+6+n(2+0)=2n+9.

The difference is equal to 6n-7. Hence, n=3 is the smallest number such that our number is divisible by 11.



Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s